BMJ小小統計問題(119)：Skewed distributions II (偏態分布 II)

前言

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本期小小統計問題談的一樣是偏態分布，主要重點在於"即使在正偏態分佈的情況下，68-95-99.7規則（經驗法則）仍然在一定程度上適用。這個規則指出，大約68%的數據點會落在距離平均值一個標準差範圍內，95%會落在兩個標準差範圍內，而99.7%會落在三個標準差範圍內"。過去的統計問題已經有不少偏態分布與對應之統計檢定相關主題，建議一併觀看，學習效果更佳！Hope u enjoy it 。

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問題

    研究人員調查長期服用metformin對接受胰島素治療的 2 型糖尿病患者維生素 B12 缺乏風險的影響[1]。共有 390 名患者被隨機分配接受 850 毫克metformin或 850 毫克安慰劑，每天三次。

主要結局指標包括 4、17、30、43 和 52 個月追蹤時血清同型半胱氨（homocysteine）酸濃度與基線相比的百分比變化。基線時，metformin組（196 人）之homocysteine平均濃度為 14.4 μmol/l（標準差為 9.7 μmol/l），而安慰劑組（194 人）的homocysteine平均濃度為 14.6 μmol/l（標準差為 10.3 μmol/l）。

 

在基線時的metformin組個案，下列敘述何者正確？

a) 約 68% 或更多的homocysteine測量值與樣本平均值相差不超過一個標準差

b) 約 95%或更多的homocysteine測量值與樣本平均值相差不超過兩個標準差

c) homocysteine分佈呈正偏態

d) homocysteine濃度的樣本平均值小於樣本中位數

 

答案

a、b 和 c 正確，d 錯誤。

 

詳細說明

    之前問題解釋如何用樣本平均數和標準差來描述連續變數的樣本測量值的分布[2-3]。大約 68% 或更多的觀察值與樣本平均數的距離不會超過一個標準差（a 正確），大約 95% 或更多的觀察值與樣本平均數的距離不會超過兩個標準差（b 正確），大約 99% 或更多的觀察值與樣本平均數的距離不會超過三個標準差。無論樣本測量值的分布是常態分布或是偏態分佈，都能夠做出這些推論。

    Metformin組homocysteine基線平均濃度為 14.4 μmol/l，標準差為 9.7 μmol/l。因此，約 68% 或更多的患者的homocysteine測量值介於（14.4-9.7）和（14.4+9.7）之間，即介於 4.7 μmol/l 和 24.1 μmol/l 之間。metformin組中約 95% 或更多的人的homocysteine測量值介於（14.4-(2×9.7)）和（14.4+(2×9.7)）之間，即介於-5.0 μmol/l 和 33.8 μmol/l 之間。此外，約 99% 或更多患者的homocysteine測量值介於（14.4-(3×9.7)）和（14.4+(3×9.7)）之間，即介於-14.7 μmol/l 和 43.5 μmol/l 之間。

    Metformin組約 95% 或更多的homocysteine樣本測量值介於 -5.0 μmol/l 和 33.8 μmol/l 之間。由於homocysteine不可能為負值，因此，大約 95% 或更多的樣本測量值會介於 0 至 33.8 μmol/l 之間。樣本平均值小於範圍的中點；因此，homocysteine的分佈呈正偏態（c 正確）。該樣本的homocysteine濃度長條圖預期右側會有一個長尾，包含一些極大值，而大部分觀察值集中在左側，但高於零值。由於樣本平均數（14.4 μmol/l）小於樣本標準差的兩倍（9.7×2=19.4 μmol/l），且homocysteine酸濃度不可能為負值，因此可以從上述所列的統計量中發現分布為正偏態。因此，樣本平均值應大於中位數（d 錯誤）[4]。

    樣本平均數和標準差是描述樣本測量值分布的有用量值。無論分布的形狀為何，我們都能推斷出樣本測量值的近似比例將包含在樣本平均數兩側標準差的給定倍數內。不過，這些推斷的價值取決於樣本測量值之分布是合理對稱的這一假設，否則得出的範圍可能包含不合理的數值。平均值和標準差通常是樣本的唯一描述性統計。雖然無法從這些簡要統計資料中推斷樣本測量值的分布是否近似於常態分布，但有時可以推斷出樣本測量值的分佈不近似於常態分佈。在選擇適當的統計檢驗以確定各組個體的樣本測量值是否存在差異時，確定樣本測量值的分布形狀非常重要。

 

Reference:

[1]de Jager J, Kooy A, Lehert P, Wulffele MG, van der Kolk J, Bets D, et al. Long term treatment with metformin in patients with type 2 diabetes and risk of vitamin B-12 deficiency: randomised placebo controlled trial. BMJ2010;340:c2181.

[2]Sedgwick P. Describing the spread of data I. BMJ2010;340:c1116.

[3]Sedgwick P. Describing the spread of data II. BMJ2010;340:c1282.

[4]Sedgwick P. Skewed distributions. BMJ2010;341:c6276.

#匯東華 #BMJ統計問題 #Skewed distributions 

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以下為ChatGPT根據本題條件下模擬2000次的結果：

條件：個案數196人，平均值是14.4，標準差為9.7，homocysteine數值不可能為負數之條件下，模擬2000次的結果，使用這些結果平均值來製圖。

經過2000次模擬後，其結果為：

    約 68.4% 的數據點落在距離平均值一個標準差範圍內。

    約 97.7% 的數據點落在距離平均值兩個標準差範圍內。

    約 99.9% 的數據點落在距離平均值三個標準差範圍內。

 

這些結果進一步證實即使在數據呈現正偏態的情況下，68-95-99.7規則仍然大致適用。

 

這些模擬結果的平均分布平均值（紅色虛線）和標準差範圍（綠色和藍色虛線）。

 

根據進行的模擬和分析發現，即使在數據呈現正偏態的情況下，大約68%的數據點落在距離平均值一個標準差範圍內，約95%的數據點落在兩個標準差範圍內，這與經驗法則（68-95-99.7規則）一致。這表明即使在一些特殊情況下，這些規則仍然可以作為描述數據集分布的有用工具。